近日，我校理學(xué)院微分方程動力系統(tǒng)及其數(shù)值模擬團(tuán)隊與山東大學(xué)司建國教授團(tuán)隊合作，在哈密頓系統(tǒng)的KAM理論研究方面取得重要進(jìn)展，相關(guān)成果《二維環(huán)面上五次薛定諤方程的擬周期解的構(gòu)造》發(fā)表于國際權(quán)威數(shù)學(xué)期刊Transactions of the American Mathematical Society。我校教師張敏為第一作者，中國石油大學(xué)（華東）為第一署名單位。該研究得到國家自然科學(xué)基金和中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項資金聯(lián)合資助。

在天體力學(xué)、量子力學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、航天科技以及生物工程中很多模型都以哈密頓方程或者其攝動方程的形式出現(xiàn)，因此哈密頓方程一直是數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家關(guān)心的熱點(diǎn)；KAM理論是關(guān)于可積哈密頓系統(tǒng)受攝動后其解的長期性態(tài)的理論，是牛頓力學(xué)在20世紀(jì)的重大進(jìn)展，是哈密頓系統(tǒng)理論發(fā)展的里程碑，具有劃時代意義。KAM理論在常微分方程以及一維偏微分方程的發(fā)展較完善，已存在大量成果。但當(dāng)偏微分方程中的空間變量處于高維空間時，由于法向頻率重數(shù)趨于無窮，使得求解同調(diào)方程以及測度估計變得更加困難，因此成果較少；且已有結(jié)論大多是關(guān)于具有外參數(shù)的方程，所以不適用于具有物理背景的經(jīng)典方程。2011年，相關(guān)學(xué)者通過選取特殊切向頻率的思想，利用KAM理論研究了具有物理背景的完全共振的二維三次薛定諤方程的擬周期解的存在性。然而，該思想一直未能被推廣至具有更高階非線性項的二維共振方程。

張敏及其合作者成功將此思想用于二維五次薛定諤方程，并定義了一類名為容許集的特殊切向頻率集合，填補(bǔ)了這一研究領(lǐng)域的空白。該集合中的四類共振，給出含有六類依賴角變量項的特殊的伯克霍夫正規(guī)型，進(jìn)而通過幅頻調(diào)制提取參數(shù)，然后通過融合Töplitz-Lipschitz思想以及求解依賴角變量的同調(diào)方程思想，克服了KAM迭代過程中出現(xiàn)的小除數(shù)問題以及由其引出的壞參數(shù)集合的測度估計問題，最終在不引入外參數(shù)的情況下，針對特殊切向頻率集合，討論了完全共振的二維五次薛定諤方程的擬周期解的存在性且給出了擬周期解的穩(wěn)定性和零Lyapunov指數(shù)等動力學(xué)性質(zhì)。該成果中關(guān)于容許集非空、非退化性條件等的證明具有較強(qiáng)的規(guī)律性，為進(jìn)一步將該種思想推廣至具有一般非線性項的方程提供可能。

審稿人對該成果給予高度評價，認(rèn)為其關(guān)于容許集非空的證明以及由其確定的伯克霍夫正規(guī)型的特殊形式是非常有意義的研究成果。

Transactions of the American Mathematical Society創(chuàng)刊于1900年，是由美國數(shù)學(xué)學(xué)會主辦的綜合性數(shù)學(xué)刊物，年收錄論文200余篇。該期刊致力于發(fā)表純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)各分支具有突破性的重要成果，是業(yè)內(nèi)公認(rèn)的數(shù)學(xué)類權(quán)威期刊，具有很高的學(xué)術(shù)聲譽(yù)。

微分方程動力系統(tǒng)及其數(shù)值模擬團(tuán)隊長期致力于哈密頓系統(tǒng)的KAM理論、生態(tài)學(xué)中的偏微分方程動力學(xué)系統(tǒng)、吸引子及慣性流形等相關(guān)領(lǐng)域的研究。近年來承擔(dān)國家自然科學(xué)基金項目及省部級項目10余項，在Transactions of the American Mathematical Society、Nonlinear Analysis: Real World Applications、Nonlinear Analysis: Theory, Method & Applications、Nonlinear Analysis: Modelling and Control等國際知名期刊發(fā)表高水平論文40余篇，在微分方程動力系統(tǒng)領(lǐng)域形成了一定的影響力。

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https://www.ams.org/journals/tran/2021-374-07/S0002-9947-2021-08329-4/